母亲可以放弃抚养权，但抚养义务仍存在。依据《民法典》，父母离婚不影响父母子女关系，放弃抚养权后仍需履行抚养义务。不及时处理可能导致孩子权益受损，影响成长。
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处理方式为协商或诉讼。双方可协商确定抚养权归属，协商不成可通过诉讼解决。选择时应考虑孩子利益最大化，确保孩子健康成长。
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母亲可放弃抚养权。操作如下：1. 与父亲协商，达成一致后签订协议；2. 若协商无果，向法院提起诉讼，由法院判决抚养权；3. 无论结果如何，都应履行抚养义务，确保孩子生活、教育等需求得到满足。